子供も出来る定積分円すい軸片持ち梁no.7とも言えます答え
200809081.htm
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子供も出来る定積分
円すい軸片持ち梁no.7とも言えます答え
問題です
L=L2=100(cm)
d1=20(cm), d2=20(cm)
W=5000(kg)
E=2100000(kg/cm2)
今d1=d2としておりまずが 正解チェック用に同寸法にしているのであり
同じで無くても解ける様にして解答願います
体積：Vと撓み：δを出して頂きたい
答え
体積は V=31415.9265359127000000 (cm3)となり
誤差は V/真値=1.0000000000004700 です
撓みは δ=0.1010507575747140
誤差は δ/真値=1.0000000005546800 です
説明
１．本に載っている定積分の考え方は
f(x)は 区間[a,b]で連続な関数とする
今 この区間[a,b]をn個の小区間に分け(等分で無くてもよい)
その分点を
a0(=a),a1,a2,・・・・an-1,an(=b) とし 各区間の幅を△xi=(ai)-(ai-1)とする
この小区間[ai-1,ai]の任意の値xiを取って 次のような和を作る
Σf(xi)Δxi=f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+・・・・+f(xn)Δxn
この時 どのΔxiも限りなく０に近づくように 分割を細かくしていくと
上の和は一定の値に近づく事が解っている(証明はむずかしい)
とのこと
「ああ そうなんや むずかしいんや(*^_^*)」
そりゃぁ難しいのでしょう そうしましょ
結局 下図で 分割数nを大きくしていけば 面積が定まると言っています
機械設計でこんな問題が出てきたら こんなのしますか？ しませんよねぇ
精度が悪く駄目です
置換法で xを求めて微分して その値を代入して
分母を払っても出来るカモ知れませんが
難しいし 出来ない人が出てきますし(*^_^*)
本のやり方では ルートは有理数にとか
分母を払って和にせよとか
部分置換法とかニュートン法とか区間推定法とか
解き方が一個一個となっていますよね
私なら 下図の様にします
分割を半分ずらして 分割します
始めaの左半分と 終わりbの右半分のハッチング部を削除します
すると 今関数が増加の場合
分割のΔnの左半分は関数f(x)に対して＋に成り右半分は－となります
(減少の場合は＋－が－＋となります)
隣り合う絶対値は近い そして 分割数が多くなると限りなく等しくなるとします
すると この分割は 正数に分割すると ＋－が相殺され０となります
証明は出来ませんが
概念的に合っていると 思いますよね
では遣ってみましょう
下シートのように作ります
セルC3２は 分割数 ３００００です 三四郎は３２０００行有りますので
目一杯使えますが 30000が綺麗で一番大きいと判断致します
１．水色行 ２９行 「ここから下は分割計算部」から下 行３００４１まで作っておきます
この時 右端のエレベータを掴んで下 30041行まで表示して３００３５行まで固定ロックしておき
右端のエレベータを掴んで上に上げて 例えば５６行まで表示している状態でファイル登録します
すると 上シートの元ファイルが出来ますよね
２．A列は 追い番です
セルA38からセルA30038 に30000を入れます
セルC38は ０を入れ セルA30038からまでC38まで下から上にマウスでドラッグして
挿入／連続データ／(増加量+１+優先方向列)で
0から30000まで入れます
(上から下にマウスでドラッグしてもよいですが 早くマウスを動かさないと シートが最大までも滑ります)
３．B列は (min.)(max.)と入れているだけです(参考に記入しているだけです)
４．A列からC列 A30からC３４ も作っておきます
セルC3１ =G9
セルC32 30000
セルC3３ は =C31/C32 にして下さい
５．C列 C30からC30038 も作っておきま
セルC38は ０を入れます
セルC39 は =C38+$C$33 成っているだけです
セルC30038 は 編集／埋込／下方向コピーで ３００３８行までコピーしておきます
セルD34からE35は 計算によって違うのだけれど 一応入れておきます
計算によって換えればよいとします
長さL= で セルC3１ に１００→２００を入れてみましょう
セルC39からセルC30038の数値が変わってセルC30038
が２００に成って居ますでしょうか
成らない人は 何処かが違ってます
６． さて ここからが 勝負です
セルD36は機械的に入力します
定積分は線を足すと面積が求まり 面積を積分すると体積がでるので
７．与えられた式を選んで機械的に置換致します
セルD38 は ΔV=AΔx で =I38^2*Pi()/4*$C$33
セルI38はdです dは d=2y=2fx+d1で =2*$G$14*C38+$F$10です
セルI30038まで 編集／埋込／下方向コピーで ３００３８行までコピーします
(別にしなくても出来ますが こうすると間違いが少ないです)
Aはd^2π/4でI38^2*Pi()/4 Δxは増加量で C33です
故に =I38^2*Pi()/4*$C$33 となり
セルＤ30038まで 編集／埋込／下方向コピーで ３００３８行までコピーします
８． セルD38 とセルＤ30038を１／２にします
セルD38 =I38^2*Pi()/4*$C$33/2 －－－－－－－－背景色を変えている所です
セルＤ30038 =I30038^2*Pi()/4*$C$33/2 です－－－背景色を変えている所です
９．同様に
セルE38は =$F$11*C38^2*$C$33/F$12/J38 を
セルE30038 までコピーして
セルE38は =$F$11*C38^2*$C$33/F$12/J38/2－－－－－－－－－背景色を変えている所です
セルE30038 =$F$11*C30038^2*$C$33/F$12/J30038/2 です－－－背景色を変えている所です
１０ 合計 セルＤ30038は =Sum(D38:D30038) で
セルE30038は =Sum(E38:E30038) です
これが答えとなります
１１．列FGの３６から３００４０は 作成不要です
精度確認用に作った物です
１２．精度を視てみます
体積は
本計算では
となります
本のように ２９９９９分割した時
②-Σ(xn+1-xn)a/2=0 なので
今の場合直径が同じなので精度差は在りません
比較すると 精度は同じと言えます
たわみは
本計算では
となります
本のように ２９９９９分割した時 下と成りました
比較すると１０^5 程精度が高いと言えます
精度まとめ
本計算の精度は関数f(x)より変わり ０～１０^5
倍程精度が高いと言えます
１３．作っておくと
１３．１ 寸法の変更で 円すい片持ち梁は答えが十二分の精度で出ると言えます
１３．２ 大概の物は解答出来ます
例えばこんなのでも
式を機械的に換えるだけで
滅茶苦茶精度良く出ます
出来ますよね 正の数で答えが有るものであれば
大概の式なら解けます
ルート,対数、階乗、三角関数が有ろうと無かろうとです
面白いでしょ(*^_^*)
１３．２ 色々な式に対応出来 一個一個でないと言え
精度は多分３万＊１０５から３万分割程度の答えと成っております
バカに成ったら賢く成ったと言えます
おめでとう御座いました
1３．３ 本問題を
「こんなもん 大体でエエがな 大体で！」って仰る先輩が居られたら
「ああ そうですよね 大体で良いですよね」って言うのは当然ですが
この円すい軸の片持ち梁は 応力にしても撓みにしても
寸法によって 代替え円柱計算が効きませんので
計算する必要が有ります
それで本シートを作っておくと 早く正確にでるので
そう言う先輩に対して
「大体でやっと来ました」って言えます(*^_^*)
１４．ただね 上の式等を理論的に導く優秀な人が居られます
そんな人には
「流石です凄いです」
「驚きです」
「魔法を見ている様です」って言うのは当然です
本式は定積分を解いたと言いませんよね
言うならば (愚直に) ３００００分割して出した物といえ
忽然と
と成ります
と言う表現に成ります
豊かで高学歴のバリバリの設計者に勝る必要は有りません
難しい勉強をしなくても 答えが出ます
貧しく無学でフラフラの設計者は 確実な答えが出たらよいのです(*^_^*)
小堀流では御座いますが
明日が生きて行ければよい
１５．あのね
私は中卒者さん
職業訓練校出身さん
激貧の設計者さん
地方に仕事が無いさん
僻地で働く若者さん
設計難民さん
今の日本のシステムは駄目なことは解っています
いくら努力をしても
貧しく無学でフラフラの設計者は 生きるのが難しい
辛いことも多く在るのだけど それに文句を言うのではなく
モクモクと仕事をこなして欲しい
明日に生き残る設計者に成っていただきたいと思って居ります
明日の貴方のために(^_^)/~
突然ですが幸せアンケートに投稿
最後の２問には コメントを入れて下さいね
只今 最終更新日 2008年9月26日11時3分
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ありがとう御座いました